序論
研究の背景と問い
交響曲という形式において、作品を貫く音楽的主体——生成の原理そのもの——は、作曲家が生涯を通じて経験する変容に応じて、どのような発展様式を辿るのか。本研究は、グスタフ・マーラーとアラン・ペッテションという、20世紀の交響曲に独自の刻印を残した二人の作曲家を対象に、この問いを定量的な調的分析を通じて経験的に検証する。
対象とするのは、マーラーの全交響曲（第1〜10番、および『大地の歌』）と、ペッテションの中期以降の交響曲群（第6〜16番）である。両者はいずれも、19世紀的な調性的統一性から距離を取りながら、独自の仕方で交響曲という形式と格闘した作曲家である。本研究は、両者の音楽的主体のあり方を対比的に検討することで、「調的溶解」という現象が辿りうる発展様式の多様性——なかでも、連続的な変化と不連続な遷移という、質的に異なる二つの様式——を明らかにすることを目的とする。
なお本研究は、マーラー単独の交響曲群を分析粒度の観点から検討した別稿（「マーラー全交響曲楽章の分析——分析粒度による音楽的主体の階層的構造の検証」）と対をなす研究プロジェクトの一部である。別稿では、全50楽章・全曲統合・主要楽章という3つの分析粒度を横断してマーラーの調的溶解を検証し、分析粒度が粗くなるほど経年トレンドの相関が強化されること、全曲統合分析における年代・編成タイプの明瞭な回収、主要楽章（Hauptsatz）分析が単なる中間粒度ではなくソナタ形式という構成原理と主体が対峙する場として独自の意義を持つこと、を確認した。本研究はこの知見を踏まえ、同じ粒度比較の枠組み（全曲統合・主要楽章）をペッテションとの比較に拡張する。
分析の視座
本研究では、MIDIデータから算出される定量的指標を解釈するにあたり、二つの理論的枠組みを援用する。分析手法の技術的詳細は次章（研究手法）に譲り、ここではその理論的な位置づけのみを述べる。
第一に、自由エネルギー原理（Free Energy Principle, FEP）における三層構造——生成モデルの安定性（層1）、状態空間における行動パターン（層2）、感覚入力の複雑性（層3）——を用いる。
第二に、カタストロフィー理論のcusp（尖点）モデルを用いる。この枠組みは、経年的な変化が常に滑らかな連続過程として進行するとは限らず、ある臨界点を境に不連続な遷移が生じうるという可能性を形式的に扱うために導入される。後述するように、マーラーとペッテションはこの点で対照的な軌跡を描く。
本研究の構成
本論では、(A) マーラー・ペッテション両者の全曲を統合した粒度、(B) マーラーについては各曲のHauptsatz（主要楽章）のみを取り出した粒度（ペッテションは全曲）、という2つの分析単位で結合PCAを実施する。ペッテションの交響曲は、今回の分析対象の中期以降の交響曲は第8番が2楽章形式という例外はあるものの、実質的には全て単一楽章形式と見做し得るため、いずれの場合でも全曲を一体とした分析を行った。同一の対比を（マーラーに関してのみだが）異なる粒度で検証することで、得られる知見——マーラーにおける連続的劣化とペッテションにおける破局的遷移という対比——が特定の分析設定に依存しない頑健な構造であるかを確認する。
続く各章の構成は以下の通りである。第I章「研究手法」では分析手法を詳述する。続く2節（A・B）では各粒度での結果を報告し、末尾でその含意をまとめる。結論部では、得られた知見を統合し、本研究の問いに対する回答を述べる。
研究手法
五度圏上の重心という考え方
本研究の分析手法の出発点は、ある瞬間（小節）に鳴っている音の集合を、五度圏上の一点として表現するというアイデアである。五度圏とは、Cから始めてG、D、A……と完全五度ずつ音を並べていくと12音すべてを一周する、調的な近さ・遠さを視覚化した円環である。隣り合う音は調的に近く、円環上で対極に位置する音（例えばCとF♯）は調的に遠い。
ある小節に複数の音が同時に鳴っている場合、それらの音を五度圏上の点として配置し、その「重心」（平均的な位置）を計算する。この重心は、その小節がどの調的領域に位置しているかを要約する一種の座標として機能する。曲全体にわたってこの重心を小節ごとに計算し続けることで、楽曲が五度圏上をどのように移動していくかという軌跡が得られる。この軌跡の形状——どのくらい活発に動くか、どのくらい広い範囲を巡るか、特定の領域に留まりがちか——が、本研究における「調的な安定性」あるいは「調的な溶解」を測る基礎データとなる。
なお、円環上の重心計算には、単純な平均では扱えない周期性（0度も360度も同じ位置を指す）という技術的な問題がある。本研究では、各音を五度圏上の角度に変換したうえで、三角関数を用いたベクトル平均によってこの問題を回避している。重心の位置からの距離（半径）は、音がどの程度五度圏上で「収束」しているか——単一の調に集中しているか、複数の調にまたがって分散しているか——を表す指標として用いられる。
サンプリングの単位と対象範囲
分析はMIDIデータから小節単位で行う。各小節に含まれる全ての音（ピッチクラス）を五度圏上に投影し、重心とその関連量を計算する。ただし、単一の音や2音のみで構成される小節は、和声的な情報量が乏しく、テクスチュアの薄さそのものが調的指標を歪めるノイズ源となりうるため、3音以上（PC≥3）を含む小節のみを分析対象とするフィルタを適用している。単音・二音の小節が持つテクスチュア上の特徴は、別途Harmonic_Coverage等の指標で捕捉される。
分析対象となる楽章・作品の範囲は、マーラーに関しては本研究の各セクションで異なるが、ペッテションの側は共通である。全曲統合分析（A）ではマーラーの各曲の全楽章を連結したものを、主要楽章分析（B）ではマーラーの交響曲の各曲のHauptsatz（多くは第1楽章。ただしマーラー第5番は第2楽章Stürmisch bewegtを採用）のみを、それぞれサンプリング単位とする。ペッテションの交響曲は（B)（A)いずれにおいても全曲を単位とする。
9つの基本特徴量
各分析単位（楽章または作品）について、以下の9つの指標を算出する。これらは大きく「位置・広がり」を表す指標と、「動き」を表す指標の2群に分けられる。
位置・広がりを表す指標
Avg_r（平均重心半径）：各小節の重心が、五度圏の中心からどの程度離れているかの平均値。値が大きいほど、単一の調に強く収束していることを意味する。
SD_r（重心半径の標準偏差）：Avg_rの曲内でのばらつき。調的な収束の度合いが曲中でどれだけ変動するかを示す。
Tonal_Focus（調的集中度）：曲全体を通じて、重心がどの程度特定の調的領域に集中しているかを表す総合指標。
Spatial_Dispersion（空間分散度）：重心が五度圏上でどれだけ広い範囲に分布しているかを表す。
PC_Density（ピッチクラス密度）：各小節に含まれる異なるピッチクラスの平均数。同時に鳴る音の多様性を表す。
動きを表す指標
Avg_Step（平均ステップ幅）：隣り合う小節間で、重心が五度圏上をどれだけ移動したか（角度差）の平均値。値が大きいほど、調的な移動が激しいことを意味する。
Step_Rate_100（100小節あたりステップ量）：Avg_Stepを曲の長さで正規化した指標。曲の長さによらない比較を可能にする。
Harmonic_Coverage（和声被覆率）：曲全体を通じて、五度圏上のどれだけの範囲（割合）が実際に使用されたかを表す。
Texture_Volatility（テクスチュア揺らぎ）：同時に鳴る音の数（テクスチュアの厚み）が、小節ごとにどれだけ変動するかを表す。
なお、これらとは別にWinding_Rate_100（五度圏上での回転方向を考慮した累積移動量）という補助指標も算出しているが、複数楽章を連結した際に楽章境界での人為的な接続が値を歪めやすいという性質があるため、PCA本体には含めず、補足的な検証にのみ使用している。
PCAとクラスタリングの設定
上記9指標（またはその一部）を標準化したうえで、主成分分析（PCA）により2次元（PC1・PC2）に圧縮する。PC1・PC2の意味づけ（何が「正」で何が「負」を意味するか）は、分析対象となるデータセットの構成によって変わりうる。これはPCAという手法自体の性質——主成分の向きは統計的に決まるが、正負の符号は数学的に恣意的である——によるものであり、本研究では各分析セクションの冒頭で、その都度、負荷量（各指標がPC1・PC2にどの程度・どの方向に寄与しているか）を明示することで、符号の意味を確定させている。
作品・楽章のグルーピングには、PC1・PC2平面上でのk-meansクラスタリングを用いる。クラスタ数kは、対象とする作品群の理論的に想定される区分数（本研究では主にk=4）に基づいて設定している。
統計的検定
作曲年代とPCAスコアとの関係は、Pearsonの積率相関係数（線形関係の強さ）とSpearmanの順位相関係数（単調関係の強さ、外れ値や非線形性に頑健）の両方を算出し、併記する。作曲家間の比較では、独立2群のt検定によりPC1平均値の差の有意性を検証する。有意水準は特に断りのない限り5%とする。
A. 全曲統合での比較
図１：マーラー（赤）・ペッテション（青）の交響曲の全曲統合での五度圏和声重心軌道のPCA分析結果。作品間を有効グラフで連結して時系列の変化を示した。
符号規約に関する注記
本データセットの負荷量は、Avg_r = +1.003、Spatial_Dispersion = +0.961、Avg_Step = −0.963、PC_Density = −0.967、Texture_Volatility = −0.842であり、正のPC1＝調的安定性、負のPC1＝調的溶解を意味する。これはマーラー単独での作品レベル分析（別稿参照）と同方向の符号だが、楽章レベル・主要楽章レベルでの分析とは逆であり、本稿内でも都度確認を要する。
手法
マーラー全11曲（第1〜10番＋大地の歌）およびペッテション全11曲（第6〜16番）を、各曲の全楽章を統合した22データ点として扱い、統一9指標セットに基づく結合PCAを実施した。
1. 作曲家間の分離：明確かつ強固
t検定：t = 5.771, p = 0.000012。両者はPC1軸上で強く有意に分離しており、マーラー作品群が調的安定側（正）に、ペッテション作品群が調的溶解側（負）に偏って分布する。この構図は、本研究の理論的類型論——マーラー＝肥大化した近代的主体、ペッテション＝損傷した主体——とPC1軸の方向性が整合することを示している。
2. マーラー晩期とペッテション初期の重なり
両者は完全に分離しているわけではなく、境界領域に重なりが見られる。
マーラーの到達点（晩期）とペッテションの出発点（Stage I）が、PC1上でほぼ同じ帯域に位置する。これは、ペッテションの音楽的主体が、マーラーが生涯をかけて到達した調的溶解の水準からすでに出発していることを示唆する。
3. マーラー：連続的劣化
マーラーはPC1と作曲順の間に強く有意な負の相関を示す（Pearson r = −0.887, p = 0.0003; Spearman ρ = −0.927, p < 0.0001）。結合PCA空間内でもこの単調減少傾向は保持されており、マーラー単独での分析（別稿）と同様の連続的・漸進的な調的溶解過程が確認できる。
4. ペッテション：破局的遷移
これに対しペッテションは、単独でのPC1と交響曲番号の相関が有意水準に届かない（Pearson r = −0.587, p = 0.058; Spearman ρ = −0.509, p = 0.110）。マーラーのような滑らかな単調減少ではなく、段階的なジャンプを伴う非線形な軌道を描く。
転換期I（−0.648）からStage III（−4.379）への落差は**−3.731ポイント**という極端な跳躍であり、その後は転換期II・Stage Vにかけて−2〜−3台へと部分的に回復・再安定化する。これは連続的・線形的な劣化ではなく、ある閾値を境に一気に異なる状態へ遷移し、その後新しい水準で再安定化するという挙動であり、カタストロフィー理論的なcusp型遷移パターンと形式的に符合する。
解釈：発展様式の質的相違
マーラーとペッテションは、PC1軸上での調的溶解という共通の方向性を持ちながら、その経年的発展様式において質的に異なる。マーラーにおける生成モデルの劣化は、作曲年代を追うごとに滑らかに進行する連続的過程であり、FEP的には生成モデルの精度パラメータが漸進的に低下していく描像に対応する。一方ペッテションにおいては、Stage IからStage IIIへの遷移が示すように、ある種の臨界点を境に生成モデルが急激に異なる状態へと移行し、その後新たな（劣化した）状態で再安定化するという非連続的・破局的な過程が観察される。
この対比は、両者の音楽的主体の存在様式そのものの違いを反映していると考えられる。マーラーの「肥大化した近代的主体」は、可能な限り連続性を保ちながら自らの生成モデルを更新し続けようとする主体であるのに対し、ペッテションの「損傷した主体」は、ある臨界点において既存のモデルを維持しきれず崩壊し、破局的な再編成を経て新しい（しかし損傷した）水準での存在を続ける主体として特徴づけられる。
B. 主要楽章での比較
図２：マーラー（赤）の交響曲の主要楽章のみ・ペッテション（青）の交響曲での五度圏和声重心軌道のPCA分析結果。作品間を有効グラフで連結して時系列の変化を示した。
符号規約に関する注記
本データセットの負荷量は、Avg_r = +0.998、Spatial_Dispersion = +0.918、Avg_Step = −0.982、Step_Rate_100 = −0.983、PC_Density = −0.932であり、正のPC1＝調的安定性、負のPC1＝調的溶解を意味する。既述のAとも同方向であり、この点は結合分析（A・B）を通じて共通している。
手法
マーラーの全交響曲の主要楽章11曲（Hauptsatz）およびペッテションの中期以降の交響曲、つまり第6～第16交響曲の11曲全曲を、22データ点として扱い、統一9指標セットに基づく結合PCAを実施した。マーラー側での主要楽章の選定基準は、マーラー単独での主要楽章分析（別稿）と同一である。ペッテションの交響曲の作品選択も、ペッテション単独での分析（別稿）と同一である。
1. 作曲家間の分離：粒度不変性の確認
主要楽章のみに絞っても作曲家間の分離は同等に強固である。ただしMahler_Sym10-1（第10番第1楽章、アダージョ）がわずかに負の値（−0.244）まで沈み込み、全曲統合分析には見られなかった軽微な越境が生じている。これは第10番第1楽章が持つ、全曲平均を上回る半音階的・実験的な性格を反映していると考えられ、両分析の基本構図を崩すものではない。
2. マーラー：年代相関はやや弱まるが有意性は維持
単一楽章に絞ると相関はやや弱まるが、依然として強く有意である。これは、マーラー単独分析（別稿）で確認された粒度依存性のパターン（集約が進むほど相関が先鋭化する）と同型であり、結合分析においても再現された。
なお主要楽章のみで見ると、マーラーの軌道は必ずしも単調ではない。第7番（0.273）で一旦谷を作った後、第8番（1.606）・大地の歌（2.398）でPC1が再上昇し、その後第9番（0.678）・第10番（−0.244）で急落するというジグザグが見られる。これは、マーラー単独での主要楽章分析（別稿）で確認された「4番が初期群から離脱し8番・大地の歌側に合流する」構造——Hauptsatzがソナタ原理に対して取る構造的態度の質的差異——が、結合分析空間でも一貫して現れていることを示す。
3. ペッテション：破局的ジャンプは分析粒度を問わず再現
段階別PC1平均は以下の通り。
転換期I→Stage IIIの落差は、全曲統合で−3.731、主要楽章のみで**−3.212**とほぼ同規模で再現される。段階ごとのプロファイル（Stage Iで正、転換期Iで軽度に負転、Stage IIIで急落、その後転換期II・Stage Vにかけて部分的に回復）という定性的パターンも完全に一致する。
ペッテション単独でのPC1対番号の相関は、主要楽章のみではPearson r=−0.619, p=0.042とぎりぎり有意に転じる（全曲統合ではp=0.058で非有意）が、Spearman順位相関は両分析で完全に同一の値（ρ=−0.509, p=0.110）である。作品間の相対的順位構造が両分析で完全に保存されていることは、線形相関の有意性の僅かな揺れが、あくまで非線形な破局的遷移パターン自体の反映であることを裏付ける。
解釈：粒度不変性としての破局的遷移
この一致が示す最も重要な点は、Stage IIIへの破局的遷移という知見が、分析単位（楽章統合か主要楽章単独か）に依存しないロバストな構造であるということである。 単一楽章分析でも同じ規模の跳躍が現れるということは、この遷移が特定楽章の異常値によるアーティファクトではなく、Stage III期の作曲様式そのものに根差した質的変化であることを強く示唆する。
これは、別稿（マーラー単独分析）で確立した粒度不変性の検証原則——複数の分析単位を通じて再現される構造のみをロバストな知見とみなす基準——を、マーラーとの結合分析という枠組みの中でも再確認するものである。マーラーの連続的劣化・ペッテションの破局的遷移という対比は、単一の分析粒度に依存した見かけ上の結果ではなく、分析単位を横断して観察される構造的事実として位置づけられる。
まとめ：連続的劣化とカタストロフィー的遷移——二つの発展様式の理論的定式化
第2部では、マーラー全11曲とペッテション全11曲（第6〜16番）を対象に、マーラーの交響曲について(A) 全曲統合、(B) 主要楽章、という2つの粒度で、ペッテションの交響曲（こちらは常に全曲）との結合PCAを実施した。ここでは両分析を横断して得られた知見を統合し、両作曲家の音楽的主体が示す発展様式の質的差異を、カタストロフィー理論とFEP三層構造の観点から理論的に定式化する。
1. 分離の頑健性——粒度を問わない作曲家間の境界
マーラーとペッテションはPC1軸上で強く有意に分離しており、この分離は分析粒度に依存しない。これは、別稿（マーラー単独分析）で確立した粒度不変性の原則——ロバストな構造的知見は分析単位を変えても再現されるべきである——が、単一作曲家内の分析だけでなく、作曲家間の比較という枠組みにおいても成立することを示す。
同時に、両者の分布には境界領域での重なりが確認された。マーラー最晩期（第9・10番）とペッテションStage I（第6〜8番）がPC1上でほぼ同じ帯域に位置するという事実は、示唆的である。ペッテションの音楽的主体は、マーラーが生涯をかけて到達した調的溶解の水準から出発している。 この関係は、両者を単純に「安定から溶解へ」という単一の尺度上に並べる直線的な発展史観を許さない。むしろペッテションは、マーラー的主体が最終的に到達した状態を初期条件として引き受けたうえで、そこからさらに独自の——そして質的に異なる——崩壊過程へと進んでいく主体として位置づけられる。
2. 二つの発展様式
マーラー：連続的劣化
マーラーのPC1は作曲順に対して強く有意な単調減少相関を示し（A: Spearman ρ=−0.927；B: ρ=−0.818）、この傾向は全曲統合・主要楽章の両粒度で一貫している。別稿（マーラー単独分析）で確認された滑らかな経年的トレンドが、ペッテションという比較対象を導入した結合分析空間においても保持される。これは、生成モデルの精度パラメータが時間とともに漸進的に低下していく、連続的な劣化過程として記述できる。
ペッテション：破局的遷移
これに対しペッテションは、単独でのPC1対番号相関が弱い、あるいは境界的にしか有意とならない（A: p=0.058；B: p=0.042）。段階別に見ると、転換期I（第9番）からStage III（第10・11番）への落差は、Aで−3.731、Bで−3.212と、両粒度でほぼ同規模の跳躍として再現される。この後、転換期II・Stage Vにかけて値は部分的に回復し、新しい水準で再安定化する。
Spearman順位相関がAとBで完全に同一の値（ρ=−0.509, p=0.110）を示した事実は特筆に値する。これは、作品間の相対的な順位構造——どの曲がどの曲より調的に安定または不安定か——が分析粒度によらず完全に保存されていることを意味し、線形相関の有意性の微妙な揺れが、経年トレンドそのものの不在ではなく、非線形・非単調な軌道の反映であることを裏付けている。
3. カタストロフィー理論による定式化
この対比は、カタストロフィー理論のcusp（尖点）モデルによって形式的に整理できる。マーラーの軌道が状態空間上の滑らかな曲面に沿った連続的な移動として描けるのに対し、ペッテションの軌道は、ある制御パラメータ（作曲年代、あるいはそれに伴う生成モデルへの負荷）が臨界値を超えた地点で、安定状態から離れた別の安定状態へと不連続に「飛ぶ」——fold（折り目）を越える——挙動として記述される。転換期I（第9番）は、この折り目に接近しつつある不安定な移行段階に相当し、Stage III（第10・11番）への急落は、系がもはや旧来の安定状態を維持できずfold surfaceの下葉へと落下する過程として理解できる。その後の転換期II・Stage Vにおける部分的回復は、系が新しい（より低い）安定状態の周辺で再び平衡を見出す過程に対応する。
このモデルは、単なる比喩ではなく、両粒度で再現された「転換期Iから Stage IIIへの一定規模の跳躍」という定量的事実によって裏づけられている。
4. FEP三層構造による統合的解釈
本研究で導入したFEP三層構造の観点から見ると、両者の相違は層1・層2（生成モデルの安定性・状態空間における行動パターン）の変化様式そのものの違いとして捉えられる。
マーラーの「肥大化した近代的主体」は、生成モデルの精度低下という不可避の過程に直面しながらも、各作品を経るごとにモデルを漸進的に更新し続け、破局的な崩壊を回避しようとする。この意味で、マーラーの主体は最後まで「連続性を保とうとする」動的努力の軌跡として記述できる。
これに対しペッテションの「損傷した主体」は、Stage Iにおいて（マーラー晩期に匹敵する水準ではあるが）一定の安定性を保持していたのが、転換期Iを境にその安定性を維持しきれなくなり、Stage IIIで生成モデルそのものが崩壊的に再編成される。その後の部分的回復（転換期II・Stage V）は、崩壊した生成モデルが、崩壊以前とは異なる、より低い精度水準において新たな均衡を模索する過程として理解できる。「損傷」とは、単なる一方向的な劣化ではなく、破局的な崩壊とそれに続く不完全な再統合という、cusp型のダイナミクスそのものを指す、という定式化が、本研究の結合分析によって定量的に裏付けられたことになる。
5. 総括
第2部の結合分析は、マーラーとペッテションという二つの音楽的主体が、共通の調的溶解という大きな方向性を共有しながらも、その経年的発展様式において根本的に異なる力学に従うことを示した。マーラーは連続的劣化という滑らかな曲面上の運動として、ペッテションはStage IIIを折り目とするcusp型の破局的遷移として、それぞれ異なる幾何学によって記述される。この対比は分析粒度（全曲統合／主要楽章）を問わず頑健に再現されており、単一の分析設定に依存する偶然の産物ではなく、両作曲家の生成モデルが辿る構造的差異そのものを反映していると結論づけられる。
この「発展様式そのものが作曲家によって異なる幾何学に従う」という知見は、別稿で確立した「分析粒度が音楽的主体の階層的構造を異なる解像度で露呈させる」という知見と合わせて、交響曲的思考における音楽的主体が、単一の尺度や単一の物語に還元されない、多層的かつ多様式的な存在様式を持つことを、定量的・理論的の両面から示すものである。
結論
本研究が明らかにしたこと
本研究は、マーラーとペッテションという二人の作曲家の交響曲群を対象に、全曲統合・主要楽章という2つの分析粒度から結合PCAを実施し、両者の音楽的主体が辿る発展様式を比較検討した。得られた知見は以下の三点に集約される。
第一に、両者はPC1軸上で強く有意に分離する（A: t=5.771, p=0.000012；B: t=4.998, p=0.000069）。この分離は分析粒度に依存せず頑健であり、マーラーの「肥大化した近代的主体」とペッテションの「損傷した主体」という理論的類型論を、定量的に裏付けるものである。同時に、マーラー最晩期とペッテションStage Iの間にPC1上での重なりが確認され、ペッテションの音楽的主体がマーラーの到達点から出発していることが示唆された。
第二に、両者の発展様式は質的に異なる。マーラーの調的溶解は作曲年代を通じて滑らかに進行する連続的過程である（A: Spearman ρ=−0.927；B: ρ=−0.818、いずれも有意）。これに対しペッテションは、転換期IからStage IIIへの急激な跳躍（A: −3.731、B: −3.212）を伴う破局的な遷移を示し、その後転換期II・Stage Vにかけて新しい水準で部分的に再安定化する。
第三に、このペッテションの破局的遷移という知見は、分析粒度を問わず再現される頑健な構造である。全曲統合と主要楽章という異なる時間解像度で、転換期IからStage IIIへの落差がほぼ同規模で確認されたことは、この遷移が特定楽章のアーティファクトではなく、Stage III期の作曲様式そのものに根差した質的変化であることを強く示唆する。
理論的定式化
マーラーとペッテションの対比は、カタストロフィー理論のcusp（尖点）モデルによって形式的に整理できる。マーラーの軌道が状態空間上の滑らかな曲面に沿った連続的な移動として描けるのに対し、ペッテションの軌道は、制御パラメータ（作曲年代、あるいはそれに伴う生成モデルへの負荷）が臨界値を超えた地点で、安定状態から離れた別の安定状態へと不連続に「飛ぶ」——foldを越える——挙動として記述される。転換期Iはこの折り目に接近しつつある不安定な移行段階に相当し、Stage IIIへの急落は、系が旧来の安定状態を維持できずfold surfaceの下葉へと落下する過程として理解できる。
FEP三層構造の観点からは、マーラーの主体が「連続性を保とうとする動的努力」として、ペッテションの主体が「崩壊とそれに続く不完全な再統合」として、それぞれ異なる幾何学に従うことが定式化される。
限界と今後の課題
本研究にはいくつかの限界がある。第一に、対象をマーラーとペッテションの2人に限定しており、他の作曲家との比較は行っていない。MIDIデータの可用性という制約から、ショスタコーヴィチ・シュニトケへの拡張は現実的でない。ブルックナー・シベリウスは主要楽章分析ではある程度網羅的な検討が可能だが、全曲（全楽章）を対象とする分析への拡張は困難である。交響曲という形式を離れ、創作史全体を横断できるという観点に立てば、ピアノソナタや室内楽まで対象を広げた上でのブラームスが、現実的な候補として挙げられる程度に留まる。
第二に、ペッテションのStage IIIへの跳躍という現象は、カタストロフィー理論のcuspモデルによって形式的に記述されたが、実際のcusp方程式への定量的なフィッティングには至っていない。この跳躍を、作曲年代を制御パラメータとする実際のcusp catastrophe surfaceに当てはめ、fold（折り目）の位置や急峻さを定量化することは、今後の重要な発展方向である。ただしサンプル数（11）の制限からも、単純なカスプ曲面へのフィッテイングは現実的でない。従って、何らかのかたちでカスプが要求する位相構造をどこまで満たしているかを検証する方法を検討する必要がある。
現時点で検討しているのは、別途FEPとの関連を分析するために設定した、ピッチクラスの音数密度、ロバストネス、重み付き予測誤差の3次元からなる相空間での作品内部の軌道について、作品毎の統計量を求めて状態空間軌道を構成し、その軌道のトポロジーを分析することによりアプローチすることを考えている。そこでの仮説は、例えば以下のような形を採るものと予想される。「第9番から第10番への遷移において、状態空間軌道の速度・加速度・曲率が同時に極値を示す。このことは、作品系列が二つの安定領域を結ぶ臨界遷移を含むことを示唆し、その位相構造は cusp catastrophe が要求する幾何学と整合的である。 」
第三に、本研究で用いた9指標はいずれも五度圏上の重心軌跡から導出されるマクロな統計量であり、軌跡そのもの——特にStage III前後での重心軌跡の内部的な変化過程——を直接分析対象とするものではない。この内部軌道に対するカタストロフィー理論的な分析（急激な遷移点や分岐構造の検出）は、Stage IIIの跳躍という現象をより精緻に理解するための有力な方向である。